NÚMEROS FRACCIONARIOS

1 NÚMEROS FRACCIONARIOS

fracción. De origen latino, viene de fraction = división, fractura o rotura. Fue usada por primera vez por Juan de Luna en el siglo XII, cuando al traducir el libro de AI'Khwarizmi utilizó fractio como traducción latina de al-Kasr, que significa quebrar o romper.

Es normal que no hablemos del total, que nombremos solo una parte o que relacionemos una parte con el total.

Hemos cogido siete de cada diez piezas. He comido un octavo del queso. Hemos recorrido la mitad del camino. Son frases que utilizamos con frecuencia.

Si queremos representar mediante números esta forma de hablar, nos encontramos con los números fraccionarios. Representamos estos números mediante dos cantidades separadas por medio de una barra, que normalmente disponemos en horizontal `a/b` , pero que tambien podemos encontrar en forma inclinada `a // b` , mediante los dos puntos `a : b` , o el símbolo que se utiliza como división `a ÷ b` .

Ejemplo 1.

Hemos cogido siete de cada diez piezas. `≡7/10`

He comido un octavo del queso. `≡1/8`

Hemos recorrido la mitad del camino. `≡1/2`

La botella era de tres cuartos de litro `≡3/4`

Figura 1. Fracción de un queso, `11/12`

También podemos plantearnos la fracción como el cociente de dos números, sin que llegemos a realizar la división. Es esta una forma de presentar las cantidades, que nos ayuda en muchas ocasiones.

Decir que llevamos realizado las tres cuartas partes de un trabajo nos da una imagen más clara de cuanto trabajo se lleva realizado y cuanto falta, que si decimos que el trabajo realizado es de 0,75; de igual forma nos permite proporcionar valores sin tener que dar el error con el que se acompaña, como ocurre con los números periodicos y los irracionales.

`2,1428571428571428571428571428571…≡2,bar142857 ≡ 15/ 7`

Como podemos observar resulta más sencilla en muchos casos, y aunque no estemos acostumbrados, para otras civilizaciones como la egipcia era la única que conocian.

1.1 CLASIFICACIÓN

2 FRACCIONES EQUIVALENTES

Dos fracciones son equivalentes, cuando al realizar sus correspondientes cocientes, estos son iguales.

Si tenemos dos fracciones `a/ b` y ` c/ d`, ambas son equivalentes, se cumple `a/ b = c/ d`, en cuyo caso tambien se cumplirá la condición `a * d = b * c`

lo que nos permite simplificar las fracciones hasta obtener la irreducible, y trabajar con esta que será siempre de numerador y denominador más reducidos.

`a / b = (a/m) / (b/m)`

o bien amplificar las fracciones, consiguiendo así un numerador o denominador que nos pueda convenir para operar.

`a / b = (a*n) / (b*n)`

Ejemplo 2. Escribe dos fracciones equivalentes a `16/24`

Simplificando
`16/ 24=(2⋅2⋅2⋅2)/(2⋅2⋅2⋅3)=2/3`

Amplificando
`16/24=(16⋅3)/ (24⋅3)= 48/72`

3 OPERAR CON FRACCIONES

3.1 SUMA Y RESTA

Deberemos buscar, simplificando o amplificando, que todas las fracciones tengan el mismo denominador, sumando o restando entonces los numeradores, y dejando como denominador el que tienen en común.

` a/b + c/d=(a×d + c×b)/(b×d) `                         ` a/b - c/d = (a×d -c×b)/ (b×d)`

Ejemplo 3.

3.2 MULTIPLICACIÓN

El resultado tendrá como numerador el producto de todos los numeradores, y como denominador el producto de todos los denominadores.

` a/b × c/d × e/f ``= (a×c×e)/(b×d×f)`

Ejemplo 4.

3.3 FRACCIÓN INVERSA

Decimos que una fracción es inversa de otra, cuando numerador y denominador cambian sus posiciones.

La fracción inversa de ` a/b`, es la fracción ` b/a`.

Podemos comprobar que:

3.4 DIVISIÓN

La división de dos fracciones se realiza multiplicando la primera de ellas por la inversa de la segunda.

` (a/b)÷(c/d)=(a/b)×(d/c)=(a×d)/(b×c)`

Ejemplo 5.

3.5 POTENCIAS

Ejemplo 6.

3.6 JERARQUÍA DE OPERACIONES

  1. Eliminar paréntesis ` ( )` y corchetes ` [ ]`
  2. Operar potencias ` a^n` y raices ` n\sqrt (a/8)`
  3. Operar multiplicaciones ` ×` y divisiones ` -:` de forma ordenada
  4. Operar sumas ` +` y restas `- ` de forma ordenada

Ejemplo 7.

` 9/ 8 + (5/ 2 + 3/ 4)/(8/ 3 - 5/ 4) + (1/2)^3`

` 9/ 8 + (5/ 2 + 3/ 4)/(8/ 3 - 5/ 4) + (1)^3/(2)^3`

` 9/ 8 + (5/ 2 + 3/ 4)/(8/ 3 - 5/ 4) + (1/8)`

` 9/8 + ((10 + 3)/ 4)/((32 - 15)/ 12) + (1/8)`

` (9/ 8) + (13/ 4)× (12/ 17) + (1/8)`

` (9/ 8) + (39/ 17) + (1/ 8)`

` 9/ (2×4) + 39/ 17 + 1/(2×4) =(9×17 + 39×2×4 + 1×17)/ (2×17×4)= 482/ 136 = 241/ 68`

4 CONVERSIONES

4.1 DE FRACCIONES A NÚMEROS DECIMALES

Realizamos simplemente la operación de dividir el numerador por el denominador

` 15/ 2 = 7,5`

4.2 DE NÚMEROS DECIMALES A FRACCIONES

Existen tres tipos de números decimales que no sean irracionales (los que tienen infinitas cifras decimales, y ninguna pauta de repetición en ellas):

Para convertirlos en fracciones realizamos los siguientes pasos.

4.2.1 NÚMEROS EXACTOS
` 346,2845`

Basta con tomar el número sin decimales y dividirlo por un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga.

` 346,2845=(3.462.845)/ 10.000`

4.2.2 NÚMEROS PERIODICOS PUROS
` 346,28282828...`

En este caso se debe tomar las cifras del número con su periodo sin la coma decimal, y restarle el número sin la parte decimal, para dividirlo después por tantos 9 como cifras tenga este periodo.

` 346,28282828.... = 34.282/ 99`

Demostración. Damos nombre al número

` N = 346,282828...`

Multiplicamos por un 1 seguido de tantos ceros como cifras tiene el periodo (100), a ambos lados de la igualdad

` 100 N =34.628,2828…`

A esta segunda igualdad, le restamos la anterior

` 100 N - N=34.628,28… - 346,28…`

` 99 N=34.282`

Despejamos N

` N= 34.282/ 99`

4.2.3 NÚMEROS PERIODICOS MIXTOS
` 346,1932828...`

Si nos fijamos en cualquier número de este tipo, podemos darnos cuenta que al multiplicarlo por una potencia de 10 con tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo, estaremos ante un caso como el anterior -periodico puro-.

`346,1932828`
si multiplicamos por 1.000
`346.193,2828…`.

Demostración.

Damos nombre al número

`N = 346,193282828...`

Multiplicamos por un 1 seguido de tantos ceros como cifras tiene el anteperiodo (1.000), a ambos lados de la igualdad

`.1000 N=346193,2828…`

Multiplicamos ahora, a ambos lados de la igualdad, por un 1 seguido de tantos ceros como cifras tiene el periodo (100).

`.100× 1.000 N =34.619.328,2828…`

A esta segunda igualdad, le restamos la anterior

`100.000 N - 1.000N=34.619.328,28… - 346.193,28…`

`99.000 N=34.273.135`

`N= (34.273.135)/ 99.000`

4.3 DE FRACCIONES A FRACCIONES MIXTAS

  1. En primer lugar realizamos la división
    `a/b=→→=c,fgh`
    apartado 4.1
  2. Tomamos la parte decimal
    `0,fgh`
    la derecha de la coma
  3. Convertimos este número decimal a fracción
    `0,fgh=→→=(k/l)`
    apartado 4.3
  4. Expresamos el número como suma de la cantidad a la izquierda de la coma más la fracción obtenida en el paso 3.
    `c + k/l`

Ejemplo 8.

  1. `15/ 2 = 7,5`


  2. ` 0,5`


  3. `0,5=1/ 2`


  4. ` 7 + 1/ 2`

Comprueba

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Vte. Manzana, 28-5-2006, Creado con GeoGebra


Con este applet puedes visualizar algunas fracciones, en la recta Real, o sobre un círculo. Para conseguirlo debes desplazar con el puntero los puntos que representan al numerador y denominador, y que pueden deslizar sobre sus respectivas líneas de puntos.
El segmento en verde representa las fracciones de la unidad hasta su decima parte. Si a=1 pueden verse estas como partes de un círculo en la parte superior.
En cualquier posición, podremos comprobar que entre las dos bolas sobre el eje, caben tantos segmentos verdes como indique el numerador (a)
Intenta hacer comprobaciones, teniendo en cuenta lo que muestra el círculo.


5 APRÓXIMACIONES Y ERRORES

Trabajando con decimales, al operar con fracciones o cuando lo hacemos con números irracionales (números no periodicos con infinitas cifras decimales), se hace necesario utilizar un número concreto y reducido de cifras. En esta situación en la que despreciamos cifras, el número con el que operamos no es un valor exacto, se trata de una apróximación, y el resultado de operar dará lugar a errores.

5.1 PRECISIÓN

Al aproximar, podemos hacerlo elegiendo el grado de apróximación (precisión) según las cifras decimales que mantendremos para operar. Diremos entonces que trabajamos con aproximación a la (o precisión de) décima(s), centésima(s), milésima(s), etc, según mantengamos una, dos, tres, etc, cifras después de la coma. La tabla que sigue, muestra con ejemplos esta forma de hablar.

Precisión décimas centésimas milésimas diezmilésimas cienmilésimas ...
cifras decimales 1 2 3 4 5
Ejemplos.
Pi = 3.1415926535 8979323846... 3.1 3.14 3.141 3.1415 3.14159
2,6457513110645905905016157536393 2.6 2.64 2.645 2.6457 2.64575

A esta forma de realizar la apróximación, en la que simplemente cortamos el número por donde nos conviene, sin producir ningún otro cambio, le damos el nombre de truncar (apróximación por truncamiento).

Tenemos otras opciones para realizar la apróximación. Observemos los cambios en la nueva tabla

Precisión décimas centésimas milésimas diezmilésimas cienmilésimas ...
cifras decimales 1 2 3 4 5
Ejemplos.
Pi = 3.1415926535 8979323846... 3.1 3.14 3.142 3.1416 3.14159
2,6457513110645905905016157536393 2.6 2.66 2.646 2.6458 2.64575

En este caso decimos que hemos realizado la apróximación mediante redondeo. Hemos destacado los cambios en la tabla escribiendo los números en negrita y rojo.

Al observar estos cambios podremos darnos cuenta que solo cuando la primera cifra eliminada es 5 o mayor que 5, hemos cambiado la última cifra que permanece aumentando su valor en una unidad.

Veamos la apróximación del número Pi a la milésima:
error que se comete, sin consirerar el signo
apróximación mediante truncamiento (1ª tabla)
3.141
Suprimimos todas las cifras que siguen
3.14159265358979323846...- 3.141 = 0,00059265358979323846 menor que 1 milésima
apróximación por redondeo (2ª tabla)
3.142
Al suprimir las cifras observamos que la siguiente (primera eliminada, es 5 o mayor que 5 -su valor es 5-); aumentamos entonces la última cifra que no eliminamos (1) en una unidad (2)  3.14159265358979323846...- 3.142 =-0,00040734641020676154 menor que 0.5 milésimas

 Como se indica a la derecha de cada apróximación, la precisión es mayor en el redondeo.

5.2 ERRORES

Es importante tener en cuenta que:
ya que es imposible no cometer errores, nos interesa conocer:

5.2.1 ERROR ABSOLUTO

Que nos indica el error que realmente se está cometiendo.
Es la diferencia entre el valor exacto del número y el valor que tomamos (la apróximación)
`Ea = 3.14159265358979323846...- 3.141 = 0,00059265358979323846 `

5.2.2 ERROR RELATIVO

Que nos indica si el error es importante.
Es la relación (el cociente) entre el error absoluto y el valor exacto
`Er = 0.00059265358979323846 / 3.14159265358979323846... = 0,00018864749671350069903094219386534 `

suele expresarse en %, por lo que en este caso el error relativo sería del 0,00188...%.
Si estos valores correspondiesen a distancias, querría dedir que al medir una longitud de 100 m, el error que se comete es de 0,00188.. m, es decir 1,88... milímetros.
La importancia del error nos la dirá el contexto; cometer un error de 1 metro al medir la distancia de la Tierra a la Luna, no tiene importancia; si la tiene cuando el error lo cometemos al medir nuestra altura. En el mundo de la electrónica, es frecuente considerar despreciables los errores menores al 10%.




Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

En una clase hay 13 chicos y 14 chicas. Expresa en forma de fracción los chicos y chicas que hay.

chicos
` 13/ (13 + 14)=13/ 27`

chicas
` 14/ (13 + 14)=14/ 27`


Ejercicio 2

Calcula

  1. ` 1/2  de  80`
  2. ` 2/3  de  345`
  3. ` 6/7  de  161`


Ejercicio 3

  1. ` 1/ 2⋅80=(1⋅80)/ 2=40`
  2. ` 2/ 3⋅345=(2⋅345)/ 3= (2⋅115⋅3)/ 3=2⋅115=230 `
  3. ` 6/ 7⋅161=(6⋅161)/ 7= (6⋅23⋅7)/ 7=138`


Ejercicio 4

Una persona recibe 300 €, y una segunda, dos terceras partes de lo que recibe la pimera. ¿Cuánto ha recibido esta segunda persona?

Primera persona ` →300  euros`

Segunda persona ` → (2/ 3)  de  300 = (2/3)⋅300 = (2⋅300)/ 3=200  euros `


Ejercicio 5

El perímetro de un terreno que deseamos vallar es de 3.520 m. El primer día colocamos los ` 3/8` de toda la valla y el siguiente los ` 2/5`. ¿Cuántos metros quedan por vallar?

Los dos primeros días, se colocan

` (3/ 8)⋅3.520 + (2/ 5)⋅3.520=((3/ 8) + (2/ 5))⋅3.520= ((3⋅5 +2⋅8)/ 40)⋅3.520=` `=((15 + 16)/40)⋅3.520=(31/ 40)⋅3.520=2.728  m`

quedarán por lo tanto ` 3.520 - 2.728 = 792  m `


Otra forma de plantearlo podía haber sido considerar solo las fracciones:

Los dos primeros días, se colocan

` (3/ 8) + (2/ 5)= (3⋅5 + 2⋅8)/ 40=(15 + 16)/ 40= 31/ 40 `

En total hemos colocado treinta y un cuarentavos del total, quedaran nueve cuarentavos por colocar, es decir

` 1 - (31/ 40)=(40 - 31)/ 40= 9/ 40`

es decir, quedan los nueve cuarentavos, del total de la valla (3.520 m).

` (9/ 40)⋅3.520=2.728` m

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