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Figura 1. Fracción
de un queso, `11/12` |
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Es normal que no hablemos del total, que nombremos solo una parte o que relacionemos una parte con el total.
Hemos cogido siete de cada diez piezas. He comido un octavo del queso. Hemos recorrido la mitad del camino. Son frases que utilizamos con frecuencia.
Si queremos representar mediante números esta forma de hablar, nos encontramos con los números fraccionarios. Representamos estos números mediante dos cantidades separadas por medio de una barra, que normalmente disponemos en horizontal `a/b` , pero que tambien podemos encontrar en forma inclinada `a // b` , mediante los dos puntos `a : b` , o el símbolo que se utiliza como división `a ÷ b` .
Ejemplo 1.
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Figura 1. Fracción
de un queso, `11/12` |
También podemos plantearnos la fracción como el cociente de dos números, sin que llegemos a realizar la división. Es esta una forma de presentar las cantidades, que nos ayuda en muchas ocasiones.
Decir que llevamos realizado las tres cuartas partes de un trabajo nos da una imagen más clara de cuanto trabajo se lleva realizado y cuanto falta, que si decimos que el trabajo realizado es de 0,75; de igual forma nos permite proporcionar valores sin tener que dar el error con el que se acompaña, como ocurre con los números periodicos y los irracionales.
`2,1428571428571428571428571428571…≡2,bar142857 ≡ 15/ 7`
Como podemos observar resulta más sencilla en muchos casos, y aunque no estemos acostumbrados, para otras civilizaciones como la egipcia era la única que conocian.
Fracción Continua. Si se pueden expresar en la forma:
`a_0 + 1/ (a_1 + (1/ (a_2 + (… / …))))`
Dos fracciones son equivalentes, cuando al realizar sus correspondientes cocientes, estos son iguales.
Si tenemos dos fracciones `a/ b` y ` c/ d`, ambas son equivalentes, se cumple `a/ b = c/ d`, en cuyo caso tambien se cumplirá la condición `a * d = b * c`
lo que nos permite simplificar las fracciones hasta obtener la irreducible, y trabajar con esta que será siempre de numerador y denominador más reducidos.
`a / b = (a/m) / (b/m)`
o bien amplificar las fracciones, consiguiendo así un numerador o denominador que nos pueda convenir para operar.
`a / b = (a*n) / (b*n)`
Ejemplo 2. Escribe dos fracciones equivalentes a `16/24`
Deberemos buscar, simplificando o amplificando, que todas las fracciones tengan el mismo denominador, sumando o restando entonces los numeradores, y dejando como denominador el que tienen en común.
` a/b + c/d=(a×d + c×b)/(b×d) ` ` a/b - c/d = (a×d -c×b)/ (b×d)`
Ejemplo 3.
Si los denominadores son iguales
Si los denominadores son distintos
` 2/ 7 + 6/ 4 + 8/ 5= (2⋅4⋅5)/ (7⋅4⋅5) + (6⋅7⋅5)/ (4⋅7⋅5) + (8⋅7⋅4)/ (5⋅7⋅4)=(40 + 210 + 224)/( 140)= 474/ 140 `
en cualquiera de los casos, basta con utilizar como denominador el mcm de los denominadores. En el ejemplo que sigue, el `mcm(5,4,2)=5⋅2^2= 20`
El resultado tendrá como numerador el producto de todos los numeradores, y como denominador el producto de todos los denominadores.
` a/b × c/d × e/f ``= (a×c×e)/(b×d×f)`
Ejemplo 4.
Decimos que una fracción es inversa de otra, cuando numerador y denominador cambian sus posiciones.
La fracción inversa de ` a/b`, es la fracción ` b/a`.
Podemos comprobar que:
La división de dos fracciones se realiza multiplicando la primera de ellas por la inversa de la segunda.
` (a/b)÷(c/d)=(a/b)×(d/c)=(a×d)/(b×c)`
Ejemplo 5.
De exponente natural
De exponente negativo
De otra potencia
Ejemplo 6.
Ejemplo 7.
` 9/ 8 + (5/ 2 + 3/ 4)/(8/ 3 - 5/ 4) + (1/2)^3`
` 9/ 8 + (5/ 2 + 3/ 4)/(8/ 3 - 5/ 4) + (1)^3/(2)^3`
` 9/ 8 + (5/ 2 + 3/ 4)/(8/ 3 - 5/ 4) + (1/8)`
` 9/8 + ((10 + 3)/ 4)/((32 - 15)/ 12) + (1/8)`
` (9/ 8) + (13/ 4)× (12/ 17) + (1/8)`
` (9/ 8) + (39/ 17) + (1/ 8)`
` 9/ (2×4) + 39/ 17 + 1/(2×4) =(9×17 + 39×2×4 + 1×17)/ (2×17×4)= 482/ 136 = 241/ 68`
Realizamos simplemente la operación de dividir el numerador por el denominador
` 15/ 2 = 7,5`
Existen tres tipos de números decimales que no sean irracionales (los que tienen infinitas cifras decimales, y ninguna pauta de repetición en ellas):
Periódicos. Cuando en la parte decimal aparecen repeticiones, y estas pueden ser de dos formas:
Periodicos puros. Si la repetición se da inmediatamente después de la coma
Periodicos mixtos. Si la repetición ocurre después de un grupo de cifras, que no se repite, -anteperiodo-
Para convertirlos en fracciones realizamos los siguientes pasos.
Basta con tomar el número sin decimales y dividirlo por un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga.
` 346,2845=(3.462.845)/ 10.000`
En este caso se debe tomar las cifras del número con su periodo sin la coma decimal, y restarle el número sin la parte decimal, para dividirlo después por tantos 9 como cifras tenga este periodo.
` 346,28282828.... = 34.282/ 99`
Demostración. Damos nombre al número
` N = 346,282828...`
Multiplicamos por un 1 seguido de tantos ceros como cifras tiene el periodo (100), a ambos lados de la igualdad
` 100 N =34.628,2828…`
A esta segunda igualdad, le restamos la anterior
` 100 N - N=34.628,28… - 346,28…`
` 99 N=34.282`
Despejamos N
` N= 34.282/ 99`
Si nos fijamos en cualquier número de este tipo, podemos darnos cuenta que al multiplicarlo por una potencia de 10 con tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo, estaremos ante un caso como el anterior -periodico puro-.
Demostración.
Damos nombre al número
`N = 346,193282828...`
Multiplicamos por un 1 seguido de tantos ceros como cifras tiene el anteperiodo (1.000), a ambos lados de la igualdad
`.1000 N=346193,2828…`
Multiplicamos ahora, a ambos lados de la igualdad, por un 1 seguido de tantos ceros como cifras tiene el periodo (100).
`.100× 1.000 N =34.619.328,2828…`
A esta segunda igualdad, le restamos la anterior
`100.000 N - 1.000N=34.619.328,28… - 346.193,28…`
`99.000 N=34.273.135`
`N= (34.273.135)/ 99.000`
Ejemplo 8.
Vte. Manzana, 28-5-2006, Creado con GeoGebra
| Precisión | décimas | centésimas | milésimas | diezmilésimas | cienmilésimas | ... | |
| cifras decimales | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||
| Ejemplos. | |||||||
| Pi = 3.1415926535 8979323846... | 3.1 | 3.14 | 3.141 | 3.1415 | 3.14159 | ||
| 2,6457513110645905905016157536393 | 2.6 | 2.64 | 2.645 | 2.6457 | 2.64575 |
| Precisión | décimas | centésimas | milésimas | diezmilésimas | cienmilésimas | ... | |
| cifras decimales | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||
| Ejemplos. | |||||||
| Pi = 3.1415926535 8979323846... | 3.1 | 3.14 | 3.142 | 3.1416 | 3.14159 | ||
| 2,6457513110645905905016157536393 | 2.6 | 2.66 | 2.646 | 2.6458 | 2.64575 |
| error que se comete, sin consirerar el signo | |||
| apróximación
mediante truncamiento (1ª tabla) 3.141 |
Suprimimos todas las cifras que siguen |
3.14159265358979323846...- 3.141 = 0,00059265358979323846 | menor que 1 milésima |
| apróximación por
redondeo (2ª tabla) 3.142 |
Al suprimir las cifras observamos que la siguiente (primera eliminada, es 5 o mayor que 5 -su valor es 5-); aumentamos entonces la última cifra que no eliminamos (1) en una unidad (2) | 3.14159265358979323846...- 3.142 =-0,00040734641020676154 | menor que 0.5 milésimas |
En una clase hay 13 chicos y 14 chicas. Expresa en forma de fracción los chicos y chicas que hay.
Calcula
Una persona recibe 300 €, y una segunda, dos terceras partes de lo que recibe la pimera. ¿Cuánto ha recibido esta segunda persona?
Primera persona ` →300 euros`
Segunda persona ` → (2/ 3) de 300 = (2/3)⋅300 = (2⋅300)/ 3=200 euros `
El perímetro de un terreno que deseamos vallar es de 3.520 m. El primer día colocamos los ` 3/8` de toda la valla y el siguiente los ` 2/5`. ¿Cuántos metros quedan por vallar?
Los dos primeros días, se colocan
` (3/ 8)⋅3.520 + (2/ 5)⋅3.520=((3/ 8) + (2/ 5))⋅3.520= ((3⋅5 +2⋅8)/ 40)⋅3.520=` `=((15 + 16)/40)⋅3.520=(31/ 40)⋅3.520=2.728 m`
quedarán por lo tanto ` 3.520 - 2.728 = 792 m `
Otra forma de plantearlo podía haber sido considerar solo las fracciones:
Los dos primeros días, se colocan
` (3/ 8) + (2/ 5)= (3⋅5 + 2⋅8)/ 40=(15 + 16)/ 40= 31/ 40 `
En total hemos colocado treinta y un cuarentavos del total, quedaran nueve cuarentavos por colocar, es decir
` 1 - (31/ 40)=(40 - 31)/ 40= 9/ 40`
es decir, quedan los nueve cuarentavos, del total de la valla (3.520 m).
` (9/ 40)⋅3.520=2.728` m
