Aulas Virtuales del IES Jorge Manrique
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Laboratorio Virtual y Cálculo Científico Interactivo

La Exploración del Sistema Solar. La órbita de Hohmann I

En 1925 el científico alemán Walter Hohmann publicó un trabajo sobre la transferencia de una nave espacial desde una órbita planetaria a otra. En aquel tiempo era un trabajo académico, pero en la actualidad la órbita de Hohmann es una de las herramientas estándar de los diseñadores de misiones espaciales. Puede probarse que la órbita de Hohmann es la que requiere la mínima energía para llevar una nave desde un planeta a otro y aunque hay otras órbitas más eficientes en tiempo o distancia, la limitación de la potencia de los cohetes de las naves todavía es una de las más importantes en el diseño de misiones espaciales.

Utilizando una órbita de Hohmann-o una muy similar-se puede colocar un satélite en órbita geoestacionaria en unas 5 horas, desde una Órbita de Baja Altura (OBA, 320-800 km de altura), desde una OBA hasta la Luna en 5 días, y desde una OBA a Marte en aproximadamente 260 días. Para ir a planetas más lejanos, como Saturno, la órbita de Hohmann no es práctica, porque requiere demasiado tiempo, y se utilizan otro tipo de maniobras, en particular la Maniobra  con asistencia de la gravedad.

la órbita de Hohmann
La órbita de Hohmann (2->3)


Para definir la órbita de transferencia de Hohmann se va a suponer, para fijar ideas, que:

La órbita de Hohmann es la mitad 2-->3 de una órbita elíptica que es tangente a la de partida y a la de destino. La maniobra se inicia con una ignición de los cohetes de la nave en la órbita de partida, necesaria para acelerar y pasar a la órbita elíptica de transferencia. Una vez que entra en la órbita elíptica, la gravedad del Sol conduce a la nave hasta el otro planeta. Al llegar a él,a Marte en el ejemplo, si se desea que la nave lo orbite, debe frenar. Para eso la nave puede usar sus propios cohetes, o la atmósfera del planeta, hasta alcanzar una órbita planetaria estable. Si no se frenara, la nave seguiría el trayecto 3-->1 y volvería al punto de partida.

En el punto 2 la nave ya tiene cierta velocidad, la necesaria para seguir  a la Tierra en su movimiento alrededor del Sol, por tanto los cohetes deben suministrar un aumento de la velocidad que se denominará aquí ΔVperiapsis. Para detenerse en la órbita del planeta de destino, los cohetes deben frenar hasta la velocidad adecuada para la órbita de Marte, y deben suministrar lo que se llamará  ΔVapoapsis .

Como base para las ecuaciones que siguen se tomará el documento Resolución clásica del Problema de Kepler, de las Aulas Virtuales.



Como se ve en la Resolución clásica del Problema de Kepler, la Energía total de la nave de masa M en la órbita elíptica está dada por

ec 1
 (1)

donde a es el semieje mayor de la órbita y α=GM , con M=masa del Sol y m = masa de la nave..

Según (1) , para la nave en su órbita a distancia r del Sol , la energía tiene una forma dada por la llamada ecuación de la vis viva:

ec 2 (2)


Teniendo en cuenta que para la órbita de Hohmann el eje mayor de la órbita es precisamente la suma de los radios de las órbitas circulares,

ec 3
(3)

la velocidad en la órbita de Hohmann está dada por

ec 4 (4)

Según (4), la velocidad en el periapsis es

ec 5
(5)


Como la velocidad en la órbita circular es

ec 6 (6)

Entonces el incremento de la velocidad en el periapsis es

ec 7 (7)

Usando (4) otra vez, esta vez para calcular la velocidad en la órbita de Hohmann en el apoapsis, se encuentra

ec 8 (8)

Y el incremento de la velocidad en el apoapsis

ec 9 (9)

El cálculo del período de la órbita completa de Hohmann es sencillo, utilizando la Tercera Ley de Kepler ec 10a y (3) para el semieje mayor de la órbita. Teniendo en cuenta que el tiempo de vuelo hasta el segundo planeta es la mitad del período de la órbita completa

ec 11 (11)

Para que el segundo planeta-Marte en el ejemplo- y la nave coincidan en el punto 3 de la órbita de Hohmann (vea la figura), la diferencia angular entre el primer planeta y el segundo, sumada con el ángulo recorrido por el segundo planeta, debe ser igual a π radianes. Un cálculo sencillo conduce a que en el momento del lanzamiento, la diferencia angular (φ21) entre el segundo y el primer planeta debe ser

ec 12 (12)



Calculadora de Órbitas de Hohmann en el Sistema Solar

(requiere javascript activado)

Planetas

Partir de (1)
Llegar a (2)

Radio del
planeta

km
Masa
kg
Semieje
mayor

UA
Período
Años
Velocidad de la
órbita circular

kms-1
Velocidad
de escape

kms-1
gravedad
superficial

ms-2
(1) 
(2) 
Órbita de Hohmann Vp
kms-1
ΔVp
kms-1
Va
kms-1
ΔVa
kms-1
tH
Años
ΔΦ
grados

El manejo de la calculadora es trivial. Seleccione los planetas de partida (1) y de llegada (2). Pulse el botón. Si quiera Ud. introducir los valores en las casillas del Radio del Planeta, Masa y Semieje Mayor, elija en los Planetas "Otro" en ambos casos.

Simulador de la Órbita de Hohmann entre Tierra y Marte o Venus

La vista de la simulación debe verse justo bajo esta línea.



Controles


Instrucciones de Manejo

Marcha: pone en funcionamiento el simulador.
Pausa: detiene el simulador.
Reiniciar/Reset: inicia el simulador.
Lanzar: lanza la nave desde la Tierra. Cuando la nave llega a las proximidades del planeta, el simulador hace una Pausa. Si lo desea, el usuario puede ir Paso a Paso hasta llegar al punto de encuentro, o pulsar Marcha.
Paso: avanza el simulador un intervalo de tiempo.
automático: si está activado, hace que el se lance la nave con la velocidad adecuada para llegar la órbita del planeta de destino (Marte o Venus). El ángulo de oportunidad debe seleccionarlo Ud.
t : tiempo del simulador, en años. No es editable.
Vlanz: velocidad de lanzamiento, en km/s. Es lo mismo que la Vp de la Órbita de Hohmann. Es editable por el usuario.
Ángulo T-P: ángulo Tierra-Sol-Marte/Venus, en valor absoluto. No es editable.
Ang-Oport: ángulo de oportunidad, el Δφ de la ec. (12). Ud. debe seleccionarlo en todos los casos para una trasferencia con éxito.
a Venus: cuando está seleccionado, el Ángulo T-P es Tierra-Sol-Venus y el modo automático pone la velocidad de lanzamiento necesaria para alcanzar la órbita de Venus . Cuando no está seleccionado, el ángulo es Tierra-Sol-Marte y la velocidad de lanzamiento es la necesaria para llegar a la órbita de Marte.
Despacio, Rápido, Más Rápido: modifican la velocidad del simulador en la manera obvia.

Actividades

1) Inicie el simulador. En la calculadora de las Órbitas de Hohman haga lo cálculos para Tierra y Marte. Lance la nave con una velocidad inferior a la de la órbita circular de Tierra. ¿Hacia dónde va la nave? ¿Por qué?

2) Reinicie. Lance la nave con velocidad mayor que 35 km/s. ¿Qué hace la nave? ¿Traspasa la órbita de Marte?

3) Intente a ojo-sin usar el piloto automático-una órbita de Hohmann hacia Marte, con los datos de la calculadora.

4) Ponga el piloto en automático y deje que el ordenador haga la órbita de Hohmann hacia Marte. Note la diferencia de los valores del simulador y los calculados. ¿Cuáles pueden ser las causas de esta diferencia?

5) Repita las actividades 3) y 4), pero con la órbita de Hohmann hacia Venus. ¿Cómo es el ángulo de lanzamiento ahora? ¿Por qué?

Elabore un informe de no más de 5 páginas. Envíelo a su tutor mediante los procedimientos establecidos.
Simulador hecho por Juan M. Fernández  con Ejs
para las Aulas Virtuales del IES Jorge Manrique (Palencia/España)
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